2016年广州一模数学试题及答案(4)

解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，

因为椭圆的左焦点为，所以．……………………………1分

设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，

由椭圆的定义知，

所以．………………………………………………………2分

所以，从而．………………………………………………………3分

所以椭圆的方程为．………………………………………………4分

解法二：设椭圆的方程为，

因为椭圆的左焦点为，所以． ①…………………1分

因为点在椭圆上，所以． ②…………………2分

由①②解得，，．…………………………………………………3分

所以椭圆的方程为．………………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．…………5分

因为直线与椭圆交于两点，，

设点（不妨设），则点．

联立方程组消去得．

所以，．………………………………………………6分

所以直线的方程为．……………………………7分

因为直线与轴交于点，

令得，即点．……………………8分

同理可得点．…………………………………………………9分

假设在轴上存在点，使得为直角，则．………10分

即，即．………………………11分

解得或．

故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．

………………………………12分

解法二： 因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．……………5分

因为直线与椭圆交于两点，，

设点，则点．

所以直线的方程为．………………………………6分

因为直线与轴交于点，

令得，即点．……………………………7分