2016年广州一模数学试题及答案(6)

综上可知，当时，。………………………………………………12分

思路2：先证明．………………………………………………5分

设，则．

因为当时，，当时，，

所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．

所以．

所以（当且仅当时取等号）．………………………………………7分

所以要证明，

只需证明．……………………………………………………8分

下面证明．

设，则．

当时，，当时，，

所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．

所以．

所以（当且仅当时取等号）．………………………………10分

由于取等号的条件不同，

所以．

综上可知，当时，。………………………………………………12分

（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）

思路3：先证明。

因为曲线与曲线的图像关于直线对称，

设直线与曲线，分别交于点，，点，到直线

的距离分别为，，

则．

其中，．

①设，则．

因为，所以．

所以在上单调递增，则．

所以．

②设，则．

因为当时，；当时，，

所以当时，单调递减；当时，单调递增．

所以．

所以．

所以．

综上可知，当时，。………………………………………………12分

证法二：因为，

要证明，只需证明。…………………………………4分

以下给出两种思路证明。

思路1：设，则。

设，则．

所以函数在上单调递增．……………………6分

因为，，

所以函数在上有唯一零点，且。……8分

因为，所以，即．……………………9分

当时，；当时，。

所以当时，取得最小值．……………………………………10分

故．

综上可知，当时，．………………………………………………12分

思路2：先证明，且．……………………5分

设，则．

因为当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，取得最小值．