2016年广州一模数学试题及答案(5)

假设在轴上存在点，使得为直角，则．

即，即． （※）…………9分

因为点在椭圆上，

所以，即．……………………………………………10分

将代入（※）得．………………………………………11分

解得或．

故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．

………………………………12分

解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．……………5分

因为直线与椭圆交于两点，，

设点（），则点．……6分

所以直线的方程为．………………………7分

因为直线与轴交于点，

令得，即点．………………………………8分

同理可得点．………………………………………………………9分

假设在轴上存在点，使得为直角，则．………10分

即，即．…………………………………11分

解得或．

故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．

（21）（本小题满分12分）

已知函数。

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明：。

解析：（Ⅰ）解：当时，，

所以．………………………………………………………………1分

所以，。 …………………………………………………2分

所以曲线在点处的切线方程为．

即。………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）证法一：当时，。

要证明，只需证明。……………………………………4分

以下给出三种思路证明。

思路1：设，则。

设，则，

所以函数在上单调递增．…………………………6分

因为，，

所以函数在上有唯一零点，且。…………8分

因为时，所以，即。………………………………9分

当时，；当时，。

所以当时，取得最小值．……………………………………10分

故．